2 ビジネスモデル：Φ とキャッシュフローの生成

v0.28.9 — 本稿は建設中です。理論の構成、命題、実証の結論はいずれも変更されうるものです。概要

Chapter 2
ビジネスモデル： $Φ$ とキャッシュフローの生成

2.1 基本集合

定義 2.1 (基本集合). 以下の四つを基本集合として置く。

\begin{align} N & = {0, 1, \dots, n} & 主体の集合。 0 は対象企業 & (2.1) \\ T & = [0, H] \subset ℝ_{\geq 0} & 時間 & (2.2) \\ (Ω, F, {F_{t}}_{t \in T}, ℙ) & 状態空間とフィルトレーション & (2.3) \\ 𝒟 & 履行（財・サービス）の空間 & (2.4) \end{align}

主体の内訳は、顧客 $C$ 、仕入先 $S$ 、資本提供者 $K$ 、労働 $L$ 、リスク引受の第三者 $R$ を想定する。これらは $N$ の部分集合であり、 $N ∖ {0}$ を覆う。個々の主体は $i \in C$ のように $N$ の元として書く。類別をそのまま添字にしたときは、その類別に属する主体についての和を表す。たとえば $κ_{C} = \sum_{i \in C} κ_{i}$ である。 $R$ は自由度(3) が支払主体を移す先であり、第2.6節の移転にあたる。

規制や商慣行は現金の相手方ではないため $N$ に含めない。これらは $Φ$ が選べる範囲を外側から限る制約であり、第6.3節の制度層で扱う。

2.2 スケジュールと空間

主体 $i$ との関係を、二つのスケジュールの組として記述する。

\begin{align} δ_{i} : T \times Ω \to 𝒟 & 履行（企業から i への価値の引渡し） & (2.5) \\ π_{i} : T \times Ω \to ℝ & 決済（ i から企業への支払い） & (2.6) \end{align}

評価写像 $v : 𝒟 \to ℝ$ により履行を貨幣単位で測る。

これらの組の全体を空間として置く。

Δ = {{(δ_{i})}_{i \in N} | δ_{i} : T \times Ω \to 𝒟}, Π = {{(π_{i})}_{i \in N} | π_{i} : T \times Ω \to ℝ}

(2.7)

$Δ$ を履行スケジュールの空間、 $Π$ を決済スケジュールの空間と呼ぶ。

2.3 履行から決済への写像

定義 2.2 (ビジネスモデル). 式(2.7)の $Δ$ と $Π$ を用いて、ビジネスモデルを写像

Φ : Δ \to Π

(2.8)

として定義する。

注 2.3 ( $Φ$ と $ϕ$ は別の対象である). 大文字の $Φ$ は式(2.8)の写像そのもの、すなわち構造を指す。小文字の $ϕ$ は、その構造のもとで一期間に生じる余剰の大きさを指す量であり、第6章の式(6.1)で三つの源泉に分解して定める。 $Φ$ が履行と決済の対応の形を決め、 $ϕ$ はその形のもとで企業に残る取り分を測る。本稿では両者を結ぶ一般の関係式を与えない。 $Φ$ の選択が $ϕ$ の各項をどう動かすかは、第6章で項ごとに個別に論じる。

2.4 キャッシュフローの生成

式(2.8)の $Φ$ が定まれば、主体ごとの決済が定まる。これをキャッシュフローと呼ぶ。

定義 2.4 (キャッシュフロー). 履行 $δ \in Δ$ を一つ定めると、 $Φ$ はその像として決済の組 $π = Φ (δ) \in Π$ を返す。 $Π$ の元は主体ごとの関数の組であるから、その第 $i$ 成分 $π_{i}$ は $T \times Ω$ 上の関数である。これを

X (i, t, ω) \equiv π_{i} (t, ω), π = Φ (δ)

(2.9)

と書く。 $X (i, t, ω)$ は、状態 $ω$ において時刻 $t$ に主体 $i$ との間で生じる正味の現金移動を表す。符号は企業への流入を正とする。仕入先や労働への支払いは $π_{i} < 0$ として表される。

$Φ$ が受け取るのは履行の組 $δ$ ひとつであり、 $t$ や $ω$ を引数に取らない。時刻と状態への依存は、 $Φ$ が返した $π_{i}$ が持つ。

$X$ は $Φ$ の像である。 $Φ$ を差し替えれば、同じ履行 $δ$ に対して異なる $X$ が生じる。これが本稿の中心的な操作である。

式(2.9)は「誰が・いつ・どの状態で」の三つの添字を持つ。通常の財務諸表は、この対象を添字方向に潰した射影である。

財務諸表	操作	内容
損益計算書	$t$ 方向の集計	発生主義による調整を含む
貸借対照表	$t$ を固定した断面	未決済の残高
キャッシュフロー計算書	$t$ 方向の差分	現金の実際の移動

表 2.1: 財務諸表は式(2.9)の三重添字を潰した射影である。

注 2.5 (本稿の量はすべて水準である). 式(2.9)以降に導入する量は、 $κ_{i}$ 、 $CCC$ 、 $ϕ$ を含めてすべて水準である。時点 $t$ における値として定義され、変化を扱う記法を持たない。

これは記述上の選択ではなく制約である。第IV部で繰り返し確認されるとおり、これらの量の水準は業種や商品形態によって二桁の差を持ち、横断比較は解釈できない。読めるのは同一対象内の時系列変化のみである。

本稿は変化を扱う理論的な道具を持たず、実証の各局面で個別に対処している（第19.4.3節）。

例 2.6 (三重添字の具体化). 月額1,000円のサービスを100名に提供する事業を考える。顧客 $i \in C$ が毎月末に支払う場合、

X (i, t, ω) = {\begin{matrix} 1, 000 & t \in {1, 2, \dots} （月末） \\ 0 & otherwise \end{matrix}

であり、 $ω$ には依存しない。一方、解約が生じうるならば $ω$ は解約時刻を含み、 $X$ は $ω$ に依存する。

仕入先が一社であれば $S = {s}$ であり、サーバ費用を月額30,000円として $X (s, t, ω) = - 30, 000$ である。類別で書けば $\sum_{i \in S} X (i, t, ω) = - 30, 000$ に等しい。

2.5 $Φ$ の自由度

式(2.8)の $Φ$ を規定する自由度を六つに整理する。式(2.9)の三つの添字に対応するものと、そうでないものに分かれる。

添字を動かすもの。

(1): 時間関係： $supp (π)$ と $supp (δ)$ の前後関係。 $t$ を動かす。 $κ$ の符号を決める。
(3): 支払主体：受益者本人か、第三者か、反対側の市場か。添字 $i$ を動かす。
(4): 状態依存性： $π$ が $ω$ に可測か。 $ω$ を動かす。リスクの所在を決める。これは第4章の $𝒢$ 可測性そのものであり、 $Φ$ の設計者が自由に選べる範囲は $𝒢$ が限る（命題4.1、注4.2）。

写像の関数形を決めるもの。

(2)

依存形式：

π

が

δ

にどう依存するか。線形な形式は一つの族にまとめられる。

π = F + p δ

(2.10)

$F$ は履行量によらない部分、 $p$ は単価である。 $p = 0$ が定額、 $F = 0$ が従量、いずれも $0$ でない場合が二部料金にあたる。線形でない形式として成果連動 $π = h (y)$ がある。 $y$ は成果、 $h$ は成果を決済に変える関数であり、 $y$ が観測できるかは自由度(4) に属する（第4章）。

注 2.7 ( $F$ の書体と $c$ の用法). 式(2.10)の $F$ は料金の固定部分であり、状態空間の $σ$ 加法族 $F$ とは別の量である。書体で区別する。

$c$ は本稿では限界費用を表し、つねに引数を伴って $c (δ)$ と書く（定義2.14）。定額料金には $F$ を用いる。

定義域 $Δ$ の側の性質。

(5): 権利と行使の分離：契約上の権利 $\bar{δ}$ と実現利用 $δ$ が乖離しうるか。
(6): 反復性：単発か、自動更新か、コミット期間つきか。取引頻度 $ν$ を決める。

注 2.8 (三群の区別). (1)(3)(4) は式(2.9)の添字を動かす。すなわち同じ $δ$ に対して $X$ の置き場所を変える操作である。 (2) は写像そのものの形を決め（注2.7）、(5)(6) は定義域 $Δ$ の側の性質である。

第2.6節のリスク操作の三分類は、(1)(3)(4) を動かす操作にあたる。

このうち (1) と (2) が、 $κ$ の符号と認知余剰の生じる余地をそれぞれ決める。この二軸で $Φ$ の空間を粗く分割できる（図2.1）。二つは別の群から取っている。 (1) は添字を動かし、(2) は関数形を決める。

分割の二軸と、族の判定に用いる自由度は別である。第7.9節の判定順序が用いるのは (3)(4)(6) であり、 (1) と (2) は現れない。前者は $Φ$ の空間を粗く見るための軸、後者は観測された $Φ$ を一意に割り当てるための規則であって、目的が異なる。

図 2.1:

Φ

の二軸分割。縦軸が

κ

の符号を、横軸が認知余剰の生じる余地を決める。

2.6 リスク操作の三分類

添字が三つであることから、 $X$ に対する操作も三つに限られる。この対応づけは本稿の整理である。

操作する添字	名称	不変量	例
$t$	繰延 (timing)	総額	前受金、割賦、リース
$i$	移転 (transfer)	総額と分散	ファクタリング、保険購入
$ω$	集約 (pooling)	総額	保険引受、分散投資

表 2.2: リスク操作の三分類。操作する添字と不変量、代表例。

この三つは、注2.8のとおり自由度 (1)(3)(4) を動かす操作である。繰延が $t$ を、移転が $i$ を、集約が $ω$ を動かす。

三つのうち、分散を実際に減少させるのは集約のみである。これは確率論の帰結であり、 $Φ$ の構造とは独立に成立する。本稿が導いたものではなく、引用である。

命題 2.9 (集約による分散低減). 分散 $σ^{2}$ 、相互相関 $ρ$ の同分布リスク $X_{1}, \dots, X_{n}$ に対し、 $ρ$ が $n$ に依存しないとき、

Var [\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j}] = \frac{σ^{2}}{n} (1 + (n - 1) ρ) \to_{n \to \infty}^{} ρ σ^{2} .

(2.11)

証明. 共分散の双線形性より

Var [\sum_{j} X_{j}] = \sum_{j} Var [X_{j}] + \sum_{j \neq k} Cov [X_{j}, X_{k}] = n σ^{2} + n (n - 1) ρ σ^{2} .

両辺を $n^{2}$ で割れば第一の等式を得る。 $n \to \infty$ のとき $\frac{σ^{2}}{n} \to 0$ 、 $\frac{(n - 1) ρ σ^{2}}{n} \to ρ σ^{2}$ であるから極限が従う。 □

注 2.10 (独立性は有限の資源である). 式(2.11)の極限は $ρ σ^{2}$ であり、 $ρ > 0$ である限りゼロにならない。集約は独立性を消費する操作であり、独立性は有限の資源である。地震保険の引受制限、プラットフォームの景気感応性、金融機関のシステミックリスクは、いずれもこの式の同じ項に由来する。

注 2.11 ( $ρ$ の内生性). 命題2.9は $ρ$ を外生的な定数とした。この仮定は成立しにくい。

$ρ$ が内生的になる機構は、集約の対象が枯渇することではなく、集約という行為そのものが相関を生むことにある。 [30] の例が明快である。二つの主体が二つのリスクを等分に引き受けて完全に分散すると、各主体の個別の破綻確率は下がるが、両者のポートフォリオは完全に相関する。リスクの性質は変わらないのに、主体間の相関が生じる。

したがって $ρ$ は集約者の数と保有の重なりの関数であり、式(2.11)の極限 $ρ σ^{2}$ は集約が進むほど大きくなりうる。証明は形式的には正しいが、適用範囲は集約者が少数で保有の重なりが小さい範囲に限られる。本稿はこの依存を扱わない（第19.4.1節）。

注 2.12 (集約の社会的最適性). 注2.11の機構は、個別と全体で最適が食い違うことを含意する。 [19] は、仲介者にとって最適な分散が社会的には最適でなく、リスク分担を制限したほうが望ましい条件を導いている。

本稿は個別事業者の視点で書かれており、 $Φ$ の選択が系に与える影響を扱わない。第II部の族5-4（保険引受）と族6-2（エスクロー）は集約を業とする類型であり、この論点が直接効く領域である。

例 2.13 (相関が効く速さ). $σ = 100$ 、 $ρ = 0$ のとき、 $n = 100$ で標準偏差は $100 ∕ \sqrt{100} = 10$ に下がる。一方 $ρ = 0.3$ では

Var = \frac{10 0^{2}}{100} (1 + 99 \times 0.3) = 305.5, 標準偏差 \approx 17.5 .

$n \to \infty$ でも標準偏差は $\sqrt{0.3} \times 100 \approx 54.8$ より下がらない。相関 $0.3$ という穏当な値でも、分散低減の効果は半分以下に落ちる。

2.6.1 技術が定める費用

履行 $δ$ を生むには費用がかかる。本稿は投入の内訳を扱わないので、生産の技術は履行から費用への対応 $C_{prod}$ としてのみ現れる。

$C_{prod}$ は $Φ$ とは独立に与えられる。同じ技術に対して異なる $Φ$ を置くことができ、逆に同じ $Φ$ を異なる技術の上に置くこともできる。本稿が動かすのは $Φ$ であって技術ではない。

定義 2.14 (費用の分割). 総費用を次の二つに分割する。

C (δ, Φ) = \underset{技術が定める}{\underset{⏟}{C_{prod} (δ)}} + \underset{契約が生む}{\underset{⏟}{C_{admin} (Φ, δ)}}

(2.12)

第一項について

\begin{align} C_{prod} (0) & 固定費 & (2.13) \\ c (δ) = \frac{d C_{prod}}{𝑑𝛿} & 限界費用 & (2.14) \end{align}

と書く。

注 2.15 ( $c (δ)$ に形状を仮定しない). 本稿は $c (δ)$ の単調性も凸性も仮定しない。費用構造は業種ごとに大きく異なり、一つの形状を置くと適用範囲が狭まるためである。

代償として、最適な履行量 $δ$ を内点で定めることができない。式(2.17)の容量制約は上限を与えるが、その手前で費用と価格が釣り合う点は本稿の仮定からは出ない。以降で $δ$ の水準が問題になる箇所（第8章の配分など）では、制約の端点として扱う。

この分割に意味があるのは、第二項が実在するからである。 $C_{admin}$ は $Φ$ の六自由度（第2.5節）のすべてから生じる。

種別	経路	内容
設定	締結	$Φ$ を相手と合意する費用。定型契約では小さく、個別交渉では大きい
運用	測定	$π = p δ$ では $δ$ の計測と課金が要る
	権利管理	$\bar{δ}$ の管理。会員資格、残高の追跡
	継続処理	自動更新、解約処理
履行確保	回収・貸倒れ	$τ_{C} > 0$ では請求と督促、回収不能の損失
	検証	$π = h (y)$ では $y$ の確認
	紛争	契約に書けても争いは生じる
外部委託	仲介	決済、配信、集客の代行

表 2.3:

C_{admin}

が生じる経路。

注 2.16 (前受にも費用がかかる). $τ_{C} < 0$ （前受）は回収費用を要しないが、預り金の管理、返金対応、規制対応が生じる。第8.5節で扱う資金決済法の供託義務がその例である。 $τ$ の符号によらず $C_{admin} > 0$ である。

注 2.17 ( $C_{admin}$ を無視する条件). 本稿は以下、 $C_{admin}$ を明示しない。無視できる条件は二つある。

(1): 運用がシステム化されている。測定・権利管理・継続処理は、仕組みが構築されていれば取引あたりの限界費用がゼロに近づく。
(2): 仲介を用いない。仲介費用は取引額に比例し、システム化では消えない。第17章はこの費用を測定し、注17.1で $C_{admin}$ の種別に対応づける。

条件が成立する範囲は限定的である。第8章の一人事業と第IV部の族2では成立するが、第16章が扱う小規模企業では成立しない。請求と督促が人手で行われる場合、 $C_{admin}$ は無視できない。

この省略の代償を明示しておく。 $C_{admin}$ を落とすため、本稿は $Φ$ の選択が費用を通じて $ϕ$ に跳ね返る経路を扱えない。式(2.12)は以降で使わず、 $C_{prod}$ のみが現れる。 $τ_{i}$ を延ばす契約変更が回収費用を増やす、といった対応関係は、本稿の枠組みの中では書けない。

以上より、費用構造が同一でも異なる契約形態を選べるという自由度が、ここでいうビジネスモデルにあたる。ただしこの自由度は完全ではなく、 $Φ$ の選択は $C_{admin}$ を通じて費用に跳ね返る。 $C_{prod}$ が現れる箇所は注2.19にまとめた。

注 2.18 ( $Φ$ の切り替え費用と待機の価値). 本稿は $Φ$ を選択変数として扱うが、これは切り替え費用をゼロと置くことに等しい。一度選んだ $Φ$ を別の $Φ$ に変える費用は $C_{admin}$ の設定項に属し、一般にゼロではない。

不可逆投資の理論（[8]）によれば、決定が不可逆であるのは物理的に取り消せないためではなく、取り消しの費用が高く特定の経路に固定されるためである。切り替え費用を $C_{sw}$ 、 $Φ$ の変更で得られる余剰の増分を $Δ ϕ$ とすると、

$C_{sw} = \infty$	変更できない。最初の選択が確定的
$C_{sw} ≪ Δ ϕ$	本稿の仮定。 $Φ$ は自由に選べる
$C_{sw} \sim Δ ϕ$	選択を遅らせることに価値がある

表 2.4: 切り替え費用

C_{sw}

の大小と

Φ

選択の自由度。

第三の場合には待機の価値が生じる。不確実性が解消するまで $Φ$ を確定させないことが最適になりうる。本稿はこの含意を扱わない。第8章の一人事業では切り替え費用が相対的に大きいため、この論点は無視できない可能性がある。

注 2.19 ( $C$ が現れる箇所). 定義2.14の量は以降で繰り返し用いる。 $ϕ_{prod}$ は $c (δ)$ の優位として定義し（第6章）、限界費用がゼロに近いことが容量制約を緩める条件となり（第8章）、 $C$ と $Φ$ がともに事前指定できることが複製可能性の条件となる（第9章）。物理層はこの $C$ の性質を指す（第6.3節）。

例 2.20 (同一の $C_{prod}$ 、異なる $Φ$ ). 同一の業務用ソフトウェアを、次の三通りで提供できる。

$Φ$	決済	$κ_{C}$ （期央、顧客1名）
買切り	導入時に240,000円	−120,000 円
年額	毎年初に60,000円	−30,000 円
月額後払	毎月末に5,000円	+2,500 円

表 2.5: 同一の

C_{prod}

に対する三通りの

Φ

と

κ_{C}

。

技術は同一であり、限界費用も同一である。異なるのは $Φ$ のみだが、 $κ$ の符号が反転し、必要な運転資本が変わる。

2.7 権利と行使の乖離

自由度 (2) と (5) は連動している。 $π$ が $δ$ に比例する場合、顧客は使った分だけ支払うため、権利と行使は一致する。 $π$ が $δ$ と独立な場合にのみ、両者が乖離しうる。

式(2.8)の自由度(5) が立つとき、次を定める。

定義 2.21 (権利と行使). 契約が顧客に与える上限を $\bar{δ}$ 、実現する利用を $δ$ とする。乖離量を $\bar{δ} - δ \geq 0$ と書き、これに由来する粗利を

ϕ_{cog} = p \cdot 𝔼 [\bar{δ} - δ]

(2.15)

と定義する。

注 2.22 (乖離が生じる契約形態). 式(2.15)が正となりうるのは、契約が $\bar{δ}$ を明示的に定める場合に限られる。

$π (t) = p δ (t)$ の従量契約では、顧客の支払総額は $p \int δ$ である。利用しなければ支払いも生じないため、契約は上限 $\bar{δ}$ を定める必要がなく、差 $\bar{δ} - δ$ が定義されない。

$π$ が $δ$ に依存しない定額契約では、対価が利用量と無関係に定まるため、契約は権利の範囲 $\bar{δ}$ を明示する。このとき $δ < \bar{δ}$ が実現しうる。二部料金 $π = F + p δ$ では、固定部分 $F$ に対応する範囲についてのみ乖離が生じる。

これは定義2.21の帰結であり、独立した主張ではない。 $\bar{δ}$ が外生に与えられることを前提とする。顧客がメニューから $\bar{δ}$ を選ぶ場合は同時決定となり、差を取ることの意味が変わる（第19.4.1節）。

注 2.23 (容量制約の一般形と本稿の簡略化). 供給側の容量には、施設の収容人数、設備の台数、人員の可処分時間などが該当する。第2章の定義より $δ_{i}$ は $T \times Ω$ 上の関数であるから、容量制約の一般形は各時刻で評価される。

\sum_{i} δ_{i} (t, ω) \leq Cap (t, ω) \forall t \in T, \forall ω \in Ω

(2.16)

容量それ自体が時刻に依存するのは、営業時間、設備の稼働時間帯、人員の配置が時間によって変わるためである。

本稿では以下、 $Cap$ を定数として扱う。すなわち式(2.16)を期間全体で積分した

\sum_{i} δ_{i} \leq Cap

(2.17)

の形で用いる。 $δ_{j}$ は総量を表す。

この簡略化は、需要の時間分布が会員間で概ね等しく、かつ容量が時間帯によらず一定である場合に正当化される。両者が成立しない場合、拘束するのはピーク時刻のみであり、式(2.17)は必要以上に強い条件となる。第16章では、この簡略化が現実と合わない観測を扱う。

命題 2.24 (容量制約下の会員制). 式(2.17)の容量制約が存在し、会員数 $n$ と平均利用 $𝔼 [δ]$ が独立に決まるとき（ $m$ は粗利率に用いるため会員数は $n$ と書く）、定額会員制 $π_{j} = F$ が実行可能であるためには

\sum_{j} 𝔼 [δ_{j}] ≪ \sum_{j} {\bar{δ}}_{j}

(2.18)

が必要である。すなわち低稼働が実行可能性の条件になる。

証明. 会員数を $n$ 、各会員の契約上の上限を $\bar{δ}$ とする。全会員が権利を行使すれば需要は $n \bar{δ}$ となる。実行可能性は $n 𝔼 [δ] \leq Cap$ を要求する。一方、会員が $\bar{δ}$ に価値を感じて加入している以上 $n \bar{δ} > Cap$ が通常成立する（そうでなければ容量制約が拘束していない）。両者を合わせると $𝔼 [δ] \leq Cap ∕ n < \bar{δ}$ を得る。 □

例 2.25 (二種の会員制). 定員100名の施設が1,000名の会員を持ち、月会費8,000円を課すとする。 $\bar{δ}$ を「毎日利用可能」とすれば $n \bar{δ}$ は容量を大きく超える。実際の平均利用率が10%であれば $𝑛𝔼 [δ] = 100$ で制約はぎりぎり満たされる。利用率が30%に上昇すると事業は物理的に破綻する。

対照的に、会費が仕入割引の権利を与える形態では容量制約が存在せず、利用率の上昇は仕入規模の拡大を通じて有利に働く。外形上は同じ族2-1 に属するが、実行可能領域の形が異なる。

Chapter 2 ビジネスモデル：Φ とキャッシュフローの生成